Ejemplos De Fórmulas De Crecimiento Y Decrecimiento Exponencial

Ejemplos de fórmulas de gráficos de crecimiento y decaimiento exponencial

Quizá sepa que la colonia bacteriana crece exponencialmente. Pero, ¿qué significa eso?? El crecimiento exponencial significa duplicar las cantidades cada segundo, cada hora o cada día, dependiendo de las variables independientes y dependientes. Por ejemplo, la expresión matemática para el crecimiento exponencial de una colonia después de t horas viene dada por y(t) es:

dy / dt = 2y

Esta es la ecuación de primer orden que muestra el crecimiento exponencial de cualquier cantidad.

Función exponencial – Definición

Una función exponencial es aquella en la que el exponente es una variable, la base es positiva y no equivale a uno. F (x) =4x, por ejemplo, es una función exponencial ya que el exponente es una constante fija en lugar de una mutable. f (x) = x3 es una función polinómica fundamental en lugar de una función exponencial. Las funciones exponenciales presentan gráficas curvas ininterrumpidas que nunca alcanzan una asíntota horizontal. Varios fenómenos prácticos se rigen por funciones logarítmicas o exponenciales.

Crecimiento exponencial

El crecimiento exponencial es una transformación matemática que crece indefinidamente mediante una función exponencial. El cambio que se ha producido puede ser positivo o negativo. La premisa clave sería que el ritmo de los cambios es creciente. Cuando no están limitadas por restricciones ambientales como el espacio accesible y la alimentación, las poblaciones de microorganismos en desarrollo, y de hecho cualquier población en expansión de cualquier especie, pueden describirse como una función de crecimiento exponencial. Otra aplicación de una función de crecimiento exponencial es el crecimiento de los ahorros con interés compuesto.

Decaimiento exponencial

El decaimiento exponencial se produce en las funciones matemáticas cuando el ritmo al que se producen los cambios es decreciente y, por tanto, debe alcanzar una limitación, que es la asíntota horizontal de una función exponencial. La asíntota es la posición en el eje x en la que la velocidad de los cambios se aproxima a cero. El decaimiento exponencial puede observarse en una variedad de sistemas. La reducción de las partículas radiactivas al fisionarse y descomponerse en otros átomos sigue una curva de decaimiento exponencial. Un artículo caliente comienza a enfriarse hasta alcanzar una temperatura ambiente constante, o un artículo frío se calienta, mostrará una curva que decae exponencialmente. El decaimiento exponencial puede utilizarse para determinar las descargas de un condensador eléctrico a través de una resistencia.

Fórmula de crecimiento y decrecimiento exponencial

La fórmula de crecimiento exponencial se utiliza para encontrar el interés compuesto, encontrar el tiempo de duplicación y encontrar el crecimiento de la población.

El crecimiento exponencial viene dado por,

f (x) = a (1 + r)x

Donde, f (x) = función de crecimiento exponencial

a = cantidad inicial

r = tasa de crecimiento

x = número de intervalos de tiempo

En el crecimiento exponencial, la cantidad aumenta, lentamente al principio, y luego muy rápidamente. La tasa de cambio aumenta con el tiempo. Por lo tanto, la gráfica de crecimiento exponencial puede describirse como

La cantidad disminuye gradualmente, seguida de una rápida reducción de la velocidad de cambio y aumenta con el tiempo. La fórmula del decaimiento exponencial se utiliza para determinar la disminución del crecimiento. La fórmula del decaimiento exponencial puede adoptar una de las tres formas siguientes

f (x) = abx

f (x) = a (1 – r)x

P = P0 e-k t

Donde,

a (o) P0 = Cantidad inicial

b = factor de decaimiento

e = Constante de Euler

r = Tasa de decaimiento (para el decaimiento exponencial)

k = constante de proporcionalidad

x (o) t = intervalos de tiempo (el tiempo puede ser en años, días, (o) meses, lo que se utilice debe ser coherente en todo el problema).

En el decaimiento exponencial, la cantidad disminuye muy rápidamente al principio, y luego más lentamente. La tasa de cambio disminuye con el tiempo. La tasa de desintegración se hace más lenta a medida que pasa el tiempo. Por lo tanto, el gráfico de decaimiento exponencial se denota como

Comprensión de la gráfica de crecimiento y decrecimiento exponencial

La gráfica de crecimiento y decrecimiento exponencial no es lineal. En una gráfica rectilínea, la tasa de cambio es constante, lo que no ocurre en las funciones de crecimiento y decrecimiento exponencial. Por lo tanto, la gráfica de crecimiento exponencial y de desintegración no son líneas rectas.

Observa las gráficas basadas en los valores funcionales a y b.

x y = f (x)
-2 2-2 = ¼
-1 2-1 = ½
0 20 = 1
1 21 = 2
2 22 = 4
3 23= 8

Características del gráfico de crecimiento y decrecimiento exponencial

  • El dominio son todos los números reales.
  • El rango son todos los números reales positivos (no el cero).
  • La gráfica tiene una intersección en (0,1). Recuerda que cualquier número a la potencia cero es 1.
  • Cuando b > 1, la gráfica aumenta. Cuanto mayor es la base, b, más rápido sube la gráfica de izquierda a derecha.
  • Cuando 0
  • Tiene una asíntota (una línea a la que la gráfica se acerca mucho, pero nunca la cruza ni la toca). Para esta gráfica la asíntota es el eje x (y = 0).

Cómo calcular la tasa de crecimiento o decaimiento exponencial?

La fórmula del crecimiento y la decadencia exponencial es

y = a bx

Donde a ≠ 0, la base b ≠ 1 y x es cualquier número real

A muestra el número entero inicial en esta función, como la población inicial o la cantidad de dosis inicial.

El factor de crecimiento o decaimiento está representado por el parámetro b. Si b es mayor que uno, la función indica un crecimiento exponencial. Si la función es 0

Si te dan un porcentaje de crecimiento o decaimiento y te dicen que calcules el factor de crecimiento/decrecimiento, suma o resta el porcentaje, expresado en forma decimal, de 1.

Generalmente, si r es una representación decimal del factor de crecimiento o decaimiento, entonces

b = 1 – r Factor de descomposición

b = 1 + r Factor de crecimiento

La variable x denota cuántas veces se compone el factor de crecimiento/decrecimiento.

Problemas de crecimiento y caída exponencial

Ejemplo 1: El carbono 14 tiene una vida media de 5.730 años. Encontrar el carbono-14, modelo de decaimiento exponencial. Redondea tu respuesta al decimal más cercano.

Solución: Utiliza la fórmula del decaimiento exponencial

P = P0 e- k t

P0 = cantidad inicial de carbono

La vida media del carbono-14 es de 5.730 años,

P = P0 / 2 = La mitad de la cantidad inicial de carbono cuando t = 5, 730.

P0 / 2 =P0 e- k (5730)

Divide ambos lados por P0

0.5 = e- k (5730)

Toma "ln" en ambos lados,

ln 0.5 = -5730k

Divide ambos lados por -5730,

k = ln 0.5 / (-5730) ≈ 1.2097

El modelo de decaimiento exponencial del carbono-14 es P = P0 e- 1.2097k

Ejemplo 2: Andrés se ha gastado 350.000 $ en un sofá nuevo. El valor del sofá cae exponencialmente a un ritmo del 5% cada año. Entonces, ¿cuánto vale el sofá después de dos años?? Redondea tu respuesta al decimal más cercano.

Solución: Valor inicial del sofá= 350.000 dólares

Tasa de deterioro r = 5% = 0.05

Tiempo t = 2 años

Utilizar la fórmula de la decadencia exponencial,

A = P (1 – r)t

A = 350000 x (1 – 0.05)2

A = 315,875

El valor del sofá después de 2 años = 315.875 dólares

Ejemplo 3: María pagó unos 20.000 dólares por un libro de bolsillo de moda. El valor del libro de bolsillo disminuye exponencialmente (se deprecia) a una tasa anual del 8%. ¿Cuál es el valor de la cartera después de 5 años?? Indique su respuesta con los decimales más cercanos.

Solución: Valor inicial P = 20.000 dólares.

Tasa de decaimiento r = 8% = 0.08.

Tiempo t = 5 años.

Utiliza la fórmula del decaimiento exponencial:

A = P (1 – r)t

A = 20000 x (1 – 0.08)5 = 13181.63

El valor del libro de bolsillo después de 5 años = 13.181 dólares.63.

Preguntas frecuentes sobre el crecimiento exponencial y el decaimiento

Q1. Cuál es la tasa de decaimiento de una función exponencial?

La fórmula del decaimiento exponencial es f(x) = abx, donde b denota el factor de decaimiento. En la función de decaimiento exponencial, la tasa de decaimiento se da como un decimal. La tasa de decaimiento se expresa en porcentaje. Lo convertimos a un decimal simplemente reduciendo el porcentaje y dividiéndolo por 100. A continuación, calcule el factor de decaimiento b = 1-r. Por ejemplo, si la tasa de decaimiento es del 25%, la tasa de decaimiento de la función exponencial es 0.25 y el factor de decaimiento b = 1- 0.25 = 0.75.

Q2. ¿Qué es exactamente la fórmula del decaimiento exponencial??

La cantidad se reduce gradualmente en un porcentaje predeterminado en períodos regulares. La fórmula del decaimiento exponencial se utiliza para determinar esta disminución del crecimiento.

f(x) = a (1 – r)x es la forma genérica.

Donde,

a = El valor inicial

r = tasa de depreciación

x = período de tiempo

Q3. ¿Necesitamos la calculadora de crecimiento y decrecimiento exponencial??

La calculadora de crecimiento y decrecimiento exponencial es útil cuando tenemos que hacer cálculos rápidos de forma generalizada. Sin embargo, no debes utilizarla con frecuencia, ya que puede afectar a tu velocidad de cálculo para resolver problemas. Debes practicar los problemas de crecimiento y decrecimiento exponencial en lápiz y papel para mejorar tu comprensión.

Q4. Qué tan efectivo es practicar a partir de las hojas de trabajo de crecimiento exponencial y decaimiento?

La hoja de trabajo de crecimiento y decaimiento exponencial responde a tres preguntas para cada problema de crecimiento y decaimiento exponencial – ¿representa esta función el crecimiento y decaimiento exponencial, cuál es su valor inicial, y cuál es la tasa de crecimiento o decaimiento para el problema dado. Si se conocen estas respuestas, se puede dominar cualquier problema de crecimiento y decrecimiento exponencial.